最短路径

n:点数

m:边数

稠密图：

相对来说线比点多

显然易见，稠密图的路径太多了，所以就用点来找，也就是抓重点；

稀疏图：

相对来说点比线多

点很多，但是连线不是很多的时候，对应的就是稀疏图，稀疏图的路径不多，所以按照连接路径找最短路，这个过程运用优先队列，能确保每一次查找保留到更新到队列里的都是最小的，同时还解决了两个点多条路选择最短路的问题；

Dijkstra算法求解最短路

基于贪心算法

朴素Dijkstra算法

1. dis[i]=INF dis[1]=0

   2.(s : 当前已确定最短距离的)

For i:0~n (循环n次可得n个结点的最短距离)

 t <- 不在s 中的距离最近的点
 
 s <- t
 
 用t更新其他点的距离

​ 更新方式： 判断l->x与l->t->x

     dis[x] > dis[t] + w

例题链接：849. Dijkstra求最短路 I - AcWing题库

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510;
int n,m;
int g[N][N], dist[N];
bool st[N];//表示第t个点是否确定路径

int dijkstra()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));//初始化正无穷
    dist[1]=0;

    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j])) //t不是最短的 更新值
                t=j;
        st[t]=true;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            dist[j] = min(dist[j],dist[t]+g[t][j]); //更新直达j和借由t到j的较短路
    }

    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;//没有路径更新，无联通
    return dist[n];
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        g[a][b]=min(g[a][b],c);//防止c超出0x3f3f3f3f范围
    }
    int t=dijkstra();
    cout<<t<<'\n';
    return 0;
}

堆优化版Dijkstra

堆：手写堆或者优先队列——使用优先队列

例题链接：850. Dijkstra求最短路 II - AcWing题库

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;
const int N = 1e6+10;

int n,m,idx;
int h[N],
    w[N],//权重
    e[N],ne[N];
int dist[N];
bool st[N];//表示第t个点是否确定路径

void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int dijkstra()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));//初始化正无穷
    dist[1]=0;

    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;
    heap.push({0,1});
    while(heap.size())
    {
        auto t=heap.top();
        heap.pop();
        int ver=t.second,distance=t.first;
        if(st[ver]) continue;
        for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dist[j]>distance+w[i])
            {
                dist[j]=distance+w[i];
                heap.push({dist[j],j});
            }
        }
    }

    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    int t=dijkstra();
    cout<<t<<'\n';
    return 0;
}

待更新……